Section 02 Théories physiques : méthodes, modèles et applications

IV. Physique Statistique et Non-Linéaire et Applications

A. Physique statistique à l'équilibre et systèmes désordonnés

La physique statistique d'équilibre a connu des progrès remarquables autour de ses thèmes traditionnels. Il existe maintenant un calcul très précis d'exposants du modèle d'Ising à 3d par la technique du boostrap conforme. Cette approche pourrait mener à de nouvelles pistes dans la compréhension des transitions de phase pour d>2. La technique du groupe de renormalisation fonctionnelle « exacte » est maintenant appliquée dans de nombreux domaines de la physique statistique et la matière condensée. En particulier, elle a permis des progrès dans la compréhension du modèle d'Ising en champ aléatoire. L'étude des propriétés statistiques des systèmes avec interactions à longue portée, comme les systèmes auto-gravitants, est actuellement en plein essor. Un domaine très actif est celui des matrices aléatoires, en particulier en lien avec la théorie des évènements extrêmes, la physique statistique hors d'équilibre, les applications en finance et l'analyse des données. Au niveau numérique un nouvel algorithme de thermalisation a permis de comprendre le processus de fusion des sphères dures en deux dimensions. Les limites du recuit quantique comme algorithme d'optimisation ont également été mises en évidence. Au niveau expérimental, le principe de Landauer qui lie le stockage de l'information à la dissipation d'énergie a pu être vérifié pour la première fois.

La théorie des systèmes désordonnés est en constant progrès. Les idées utilisées dans les systèmes inhomogènes frustrés (verre de spin, verres) se sont révélées fructueuses en physique théorique ainsi que dans des contextes inter-disciplinaires où les interactions ont une nature hétérogène (voir sec. IV.I-J). La théorie dite de « Random First Order Transition », pour la description de la transition de verre dans les liquides et le « jamming » dans les systèmes granulaires a été confirmée. Parmi les résultats majeurs, citons la compréhension des hétérogénéités dynamiques, l'utilisation de contraintes pour tester la phase de verre, un début de groupe de renormalisation, la solution exacte du problème des verres en haute dimension, la mise en évidence d'une transition secondaire dans la phase vitreuse (transition de Gardner) qui explique la marginalité dans les états « jamming ». Un autre sujet porteur, à cheval avec la matière condensée, est la localisation à multi-corps (voir section III).

B. Physique statistique hors d'équilibre

Une avancée majeure concerne la solution exacte de l'équation de Kardar-Parisi-Zhang (KPZ) en dimension 1+1, un des piliers de la physique statistique hors d'équilibre. On y a trouvé des connexions inattendues avec les fluctuations de la plus grande valeur propre de matrices aléatoires (décrites par les distributions de Tracy-Widom). Grâce aux progrès récents dans la théorie des extrêmes de systèmes fortement corrélés, de nombreux résultats analytiques exacts ont été obtenus, par exemple, pour les marches aléatoires, les matrices aléatoires ou les particules Browniennes en interaction.

Les progrès expérimentaux sur la manipulation d'objets microscopiques, tels que des brins d'ADN, des colloïdes, etc., ont motivé le développement de la « thermodynamique stochastique », qui décrit les systèmes de petite taille, les fluctuations autour des valeurs moyennes ou les événements rares. Dans ce cadre, la définition de la production d'entropie le long d'une trajectoire du système a été introduite et a permis d'obtenir une description unifiée des différentes relations de fluctuation. D'autre part, la statistique des fluctuations du courant dans le modèle d'exclusion simple asymétrique avec conditions aux bords périodiques a été calculée par la méthode de l'ansatz de Bethe. Enfin, l'existence de la limite hydrodynamique dans les modèles d'exclusion a permis l'étude des fluctuations de courant et de densité.

L'étude de la matière active est en plein essor, avec applications aux systèmes de particule auto-propulsée, décrivant des êtres vivants (piétons, poissons, oiseaux, bactéries...), des particules inertes (disques polaires en vibration...) ou des systèmes moléculaires (moteurs moléculaires impliqués dans le transport intracellulaire). Leur point commun est de disposer d'une source interne d'énergie leur permettant de se déplacer. La recherche actuelle porte sur les transitions de jamming, l'émergence de patterns (vol des oiseaux) et leurs mécanismes ou l'efficacité du transport dans ces systèmes.

C. Physique non-linéaire et systèmes dynamiques

L'analyse des propriétés statistiques des systèmes dynamiques met actuellement en jeu la théorie des extrêmes, les grandes déviations ou les théorèmes limites qui peuvent fournir un cadre formel aux problèmes de transport. L'utilisation des systèmes dynamiques permet des progrès spectaculaires dans la compréhension des systèmes hors-équilibre en régime stationnaire. On leur doit la formulation de nouveaux théorèmes de fluctuation-dissipation (Cohen, Gallavotti, Ruelle) et un nouveau cadre pour étudier les différentes limites hydrodynamiques et thermodynamiques. Il reste à établir un lien entre les systèmes dynamiques à petit nombre de degrés de liberté et la transition vers la turbulence, celle-ci étant vue comme un processus stochastique d'origine déterministe.

D. Physique des fluides et turbulence

Comprendre et décrire la turbulence est l'un des problèmes ouverts de la physique classique. Outre la turbulence « classique », l'activité dans ce domaine s'est récemment diversifiée autour de la turbulence « quantique » et la turbulence d'ondes.

L'activité en turbulence classique a été stimulée par les progrès expérimentaux en visualisation et traitement de données. La possibilité de suivre des particules a renouvelé l'intérêt dans l'approche lagrangienne en complément à l'approche eulerienne. On a observé des transitions entre grandes structures en convection, turbulence hydrodynamique ou magnéto-hydrodynamique, selon des dynamiques lentes et complexes. Quelques modèles de basse dimensionnalité ou de mécanique statistique ont été développés. L'enjeu est d'y inclure des outils de type processus stochastiques, grandes déviations ou systèmes dynamiques.

L'approche statistique des équations d'Euler 2D permet l'explication des structures cohérentes en astro et géophysique. L'enjeu est l'extension au cas 3D. Une voie pourrait être le passage par le cas intermédiaire de 3D avec symétries, pour lequel les solutions à l'équilibre de l'équation d'Euler pourraient coïncider avec les solutions stationnaires d'un écoulement turbulent classique.

La turbulence d'ondes se rencontre à des échelles variées en physique, astrophysique, géophysique ou mathématique. Un effort expérimental important a été fourni, en utilisant des techniques spatio-temporelles. Les avancées récentes incluent l'observation d'une cascade inverse d'ondes de gravité et d'ondes en optique non linéaire, l'intermittence en turbulence d'ondes, et la turbulence d'ondes en déclin. Ces résultats motivent la modélisation théorique des effets de taille finie, la prise en compte de processus fortement non linéaires et de structures cohérentes, ainsi que l'étude de la condensation d'ondes classiques.

En dessous de 2,17 K, l'hélium liquide devient superfluide : il s'écoule sans viscosité et sa vorticité devient quantifiée. L'enjeu est de savoir si cette « turbulence quantique » diffère de la turbulence « classique » motivant le projet expérimental SHREK d'étude et de comparaison de la turbulence dans l'hélium liquide au dessus et en dessous de la transition superfluide. Les mesures obtenues pourraient permettre la validation des modèles actuels, utilisant les ondes de Kelvin, l'équation de Gross-Pitaevskii ou le modèle à deux fluides. Une manière d'unifier ces modèles a récemment été proposée, via la prise en compte des fluctuations thermiques classiques.

E. Physique des plasmas

Les plasmas, naturels ou de laboratoire, allant des simples décharges électriques aux plasmas de fusion, sont des systèmes non linéaires complexes pouvant être le siège de phénomènes d'auto-organisation associées au développement d'instabilités variées.

Dans les plasmas chauds confinés par des champs magnétiques, la dynamique implique le couplage d'échelles très différentes, et des physiques différentes selon la région du plasma. Des progrès mathématiques ont été obtenus sur la relaxation non collisionnelle (amortissement Landau). On observe actuellement un passage en régime quasi-industriel des codes gyrocinétiques. Les plasmas sont également le siège de mouvements globaux engendrés par la turbulence. Ces écoulements localisés dans une étroite couche de cisaillement sur le bord du plasma peuvent constituer des barrières de transport efficaces et conduire à des régimes dits de confinement améliorés, dont la compréhension et le contrôle sont primordiaux pour la fusion par confinement magnétique.

Parmi les enjeux actuels, mentionnons la possibilité de faire de la météo solaire (prévision des éruptions solaires) en utilisant les analyses des données du vent solaire ou la mise au point des dynamos de laboratoire « plasmas » permettant d'explorer des gammes de paramètres de contrôle plus proches de ceux des objets naturels, dans la suite de l'expérience VKS.

F. Physique et biologie

La génétique des populations a attiré plusieurs théoriciens du fait de la simplicité des lois d'évolution gouvernant la complexité et la richesse des organismes vivants. Les événements rares jouent un rôle crucial dans la création de la variation génétique au niveau de la population, motivant l'application d'un ensemble de méthodes issues de la physique statistique. Les récentes percées expérimentales dans le séquençage ont permis de réévaluer l'importance de la sélection et des mutations à plus grande échelle, par exemple les duplications du génome ou de plusieurs gènes, et motivent la recherche de modèles théoriques de ces phénomènes.

Le paradigme de la régulation de l'expression comme un événement local en espace et en temps se révèle de plus en plus inadéquat à décrire la complexité de la réponse cellulaire. Des avancées sur la compréhension des mécanismes non-locaux tels que la rémodelisation de la chromatine sont espérées par l'application de méthodes issues de la physique statistique, notamment sur le couplage entre régulation et disponibilité de ressources cellulaires, en termes de nombre de protéines, d'ARN et d'énergie en général.

Les outils des problèmes inverses ont été appliqués avec succès à l'identification du lien entre structure moléculaire et fonction ainsi qu'à l'étude de l'activité de populations neuronales et dans la dynamique des vols d'oiseaux.

Des progrès ont été faits dans la compréhension des mécanismes physiques de la transduction de signaux qui sont à la base des systèmes sensoriels de la cellule et des processus de décision au niveau moléculaire. Dans ces systèmes très fluctuants, l'application de la physique statistique semble prometteuse.

Les neurones sont un exemple paradigmatique des capacités de calcul et de décision des cellules uniques ou en coopération. En couplant données électro-physiologique et modèles théoriques, on décrit maintenant avec précision les différentes relations entrée/sortie des divers neurons et comment elles sont liées aux mécanismes biophysiques. Des avancées sont advenues dans les réseaux de neurones, par la compréhension des mécanismes de plasticité synaptique et de la dynamique collective dans les ganglia et dans le cortex.

G. Matière molle, morphogénèse et organisation de la matière

Les matériaux désordonnés, la matière molle et les systèmes biologiques présentent des diagrammes de phases, des dynamiques et des propriétés mécaniques et de transport complexes. L'enjeu est la compréhension de l'organisation, dans l'espace et le temps, de la matière vivante et inerte, en particulier à l'échelle de l'observable. Les outils combinent des techniques allant de simples observations des phénomènes à des expérimentations et théories quantitatives plus poussées. Le défi scientifique consiste à faire émerger un principe physique sous-jacent robuste d'un phénomène dont la pertinence va au-delà d'une manifestation particulière. Les exemples vont des propriétés d'organisation d'objets inertes (milieux granulaires, tiges, plaques), à la description de mécanismes gouvernant des structures biologiques (biologie du développement, organisation des tissus biologiques).

Pour les matériaux désordonnés, les développements récents portent sur la rhéologie des écoulements granulaires génériques et du transport sédimentaire. Des progrès importants ont été réalisés sur la rhéologie des fluides complexes, notamment grâce aux analogies avec les questions fondamentales de transition vitreuse, de blocage et de brisure d'ergodicité. Les questions d'élasticité non-linéaire, de plasticité et de fracture des milieux hétérogènes donnant lieu à des formes complexes (papier froissé, déchirures) font aussi l'objet de nombreux travaux expérimentaux et théoriques. Les travaux sur la morphogenèse et les descriptions de type rhéologie des verres mous appliqués à la biologie, et à l'oncogenèse en particulier, sont un exemple d'application des systèmes désordonnés à la biophysique des tissus. D'importants progrès sont attendus de l'application des méthodes de physique théorique à la biophysique structurelle, tels que la cristallisation des protéines et les réseaux d'interaction protéiniques.

Le développement de systèmes colloïdaux et de nanoparticules de plus en plus complexes (patchy colloids) va permettre de nouvelles plate-formes d'études des processus d'auto-assemblage et des transformations de phases. Les dispersions colloïdales, que l'on peut voir comme des systèmes fortement couplés, présentent des comportements encore mal compris. Tous ces systèmes présentent un défi pour les méthodes théoriques utilisant des techniques de couplage fort au-delà des théories de champ moyen. Elles vont de la résolution d'équations de type Poisson-Boltzmann à la détermination des forces de Casimir pour des systèmes à l'équilibre et hors-équilibre (force de traînée).

H. Inférence statistique et algorithmes

Les applications de la physique statistique aux sciences de l'information, l'inférence et le traitement des données, notamment en biologie et sciences sociales, se sont multipliées. Le développement d'algorithmes va de pair avec la compréhension théorique et/ou mathématique de modèles parfois schématiques, parfois directement liés aux applications. L'activité principale s'est concentrée autour des problèmes inverses pour extraire l'information pertinente de grandes quantités de données. Le prototype est ici le modèle d'Ising inverse où l'on cherche à reconstruire selon un principe d'entropie maximale, les interactions entre spins. La théorie statistique des systèmes hétérogènes, en particulier les techniques de champ moyen, l'approximation de Bethe et les développements en amas ont été utilisés pour définir de nouveaux algorithmes. Ces algorithmes ont aussi été utilisés pour analyser des données dans des contextes aussi variés que la protéomique, la virologie, les neurosciences, l'étude du système immunitaire, l'étude de comportements collectifs des oiseaux. Des algorithmes de passage de messages ont été appliqués au problèmes de clustering des données, à la détection de communautés sur réseau, l'inférence des épidémies et surtout l'acquisition comprimée des données (compressed sensing), ou des techniques de passage de messages associées à un choix judicieux de la matrice de mesure permet la reconstruction optimale d'images comprimées.

I. Réseaux et sciences humaines

La physique statistique a permis dernièrement des avancées dans le domaine interdisciplinaire des sciences humaines statistiques, la « révolution numérique » s'imposant comme un sujet scientifique, économique, social et politique important.

Une application est liée à l'étude des réseaux complexes, de l'informatique (Inter-net), à la biologie (réseaux d'interactions de protéines, de régulation génétique, épidémiques) en passant par les sciences sociales (réseaux sociaux) et économiques (réseaux bancaires). De nouveaux outils statistiques (quantification des corrélations, algorithmes pour la détection de structures non triviales comme les « communautés ») expliquent l'émergence de certaines caractéristiques observées (e.g. le mécanisme d'attachement préférentiel, la propagation d'épidémies, le risque d'effondrement de réseaux bancaires).

Des applications à des problèmes de macro-économie ont été développées. Suite à la crise économique de 2008, des aspects de base des sciences économiques ont été remis en question. L'absence d'hétérogénéités dans les modèles standards empêche par exemple l'apparition de crises endogènes, ce qui motive les approches de « modèles d'agents ». En finance, les outils de la mécanique statistique ont permis l'optimisation de portefeuille, la gestion du risque financier, ou la prédiction des corrélations entre les prix des actions.