Section 41 Mathématiques et interactions des mathématiques

Introduction

Les mathématiques sont l'une des sciences les plus anciennes et pourtant ces dernières années ont vu des changements profonds s'opérer dans la manière de les pratiquer, qui ont sans nul doute vocation à perdurer et à s'accentuer. Ce sont les nouvelles technologies et tout particulièrement le développement du réseau internet dans les vingt dernières années, qui en sont à l'origine. La communication entre mathématiciens a été grandement facilitée par le courrier électronique, le serveur arXiv est devenu le moyen privilégié pour rendre ses travaux publics et grâce à la mise en ligne des revues scientifiques et des bases de données les recherches bibliographiques sont bien plus rapides qu'auparavant.

Très récemment, par le biais du réseau Polymath, qui permet la collaboration massive de chercheurs sur toute la planète, une nouvelle forme de convivialité s'est mise en place, probablement destinée à s'étendre rapidement. Elle a déjà à son actif un succès notable en ayant permis d'améliorer les résultats de Yitang Zhang montrant l'existence d'une infinité de paires de nombres premiers dont l'écart est plus petit qu'une certaine constante (la conjecture des nombres premiers jumeaux prédit que l'on peut prendre cette constante égale à deux). Dans un autre ordre d'idées, les assistants de preuve, qui permettent de vérifier formellement la validité de démonstrations mathématiques, ont connu des progrès fulgurants. Alors que ceux-ci restaient limités à la vérification de théorèmes élémentaires d'algèbre ou de topologie de première année d'université, ils sont maintenant suffisamment sophistiqués pour valider des résultats difficiles comme le théorème de Feit-Thompson sur les groupes finis d'ordre impair, ou la conjecture de Kepler sur les empilements de sphères en dimension trois. Ces assistants de preuve seront sans doute, dans quelques années, un outil aussi répandu que les logiciels de calculs formel et numérique.

Le temps qui s'écoule entre la production de résultats mathématiques et leur application dans le monde réel devient de plus en plus court, notamment du fait des nombreuses applications aux réseaux internet. C'est ainsi que la découverte récente d'un algorithme de calcul quasi-polynomial du logarithme discret sur un corps fini a rendu peu sûrs certains algorithmes de cryptage utilisés couramment.

Tout cela dessine le portrait d'un monde mathématique qui change très vite. En attendant ce futur plein de promesses, le présent document tente de brosser en quelques pages un état des lieux, nécessairement sommaire et incomplet, des progrès récents en mathématiques et de la façon dont la communauté mathématique française et tout particulièrement le CNRS, y participent.