Section 02 Théories physiques : méthodes, modèles et applications

II. Physique mathématique et méthodes théoriques

Ce chapitre regroupe les études fondamentales des théories des champs et les développements de méthodes théoriques qui sont au cœur de l'activité de la section 02, tant par la profondeur des structures mathématiques mises en jeu que par leur applicabilité à une pléthore de phénomènes physiques intéressant l'ensemble des autres chapitres de ce rapport.

A. Théorie de cordes, super-gravité et théories de jauge

La « théorie de cordes » désigne un vaste spectre de thèmes et de techniques allant de la physique des hautes énergies et de la gravitation quantique à la modélisation de systèmes fortement couplés via la correspondance holographique. La théorie des super-cordes relie les particules élémentaires du Modèle Standard à des excitations d'un objet unidimensionnel relativiste, décrit à basse énergie par la super-gravité (cordes fermées) ou par des théories des jauge super-symétriques (cordes ouvertes). Les applications à la physique au-delà du Modèle Standard et à la cosmologie ayant été mentionnées dans le chapitre I, nous décrirons ici les aspects plus fondamentaux de ce domaine.

Une étape clé pour le développement d'une phénoménologie des théories de cordes est la classification des états du vide possibles et le calcul des théories effectives à basse énergie associées. Une difficulté majeure est l'existence générique de bosons scalaires de masse nulle, qui peuvent dans certains cas être éliminés via des flux électromagnétiques généralisés internes. La construction de vides non super-symétriques de type de Sitter, stables ou métastables, reste largement ouverte. Les vides à super-symétrie étendue, les dualités et les amplitudes de diffusion restent d'actualité, afin d'éclairer la structure de la théorie M qui étend la théorie des super-cordes.

L'origine microscopique de l'entropie des trous noirs et le paradoxe de l'information de Hawking sont des questions clés qui guident le développement d'une théorie de la gravité quantique. La théorie des cordes donne une explication robuste au premier problème pour le cas super-symétrique, microscopiquement décrit par des états liés de D-branes, et mettant en jeu des résultats avancés en géométrie algébrique et en théorie analytique des nombres. Le cas non super-symétrique reste largement ouvert. La correspondance holographique offre une solution de principe au second problème via la description duale manifestement unitaire, mais l'émergence d'une géométrie effective locale et le décodage de la radiation de Hawking sont mal compris et l'existence même d'une géométrie classique au voisinage de l'horizon d'un trou noir est débattue en raison de propriétés générales de l'entropie d'intrication.

Les applications de la correspondance holographique vont bien au-delà. Les développements récents dans ce domaine reposent sur une approche ascendante, où une théorie gravitationnelle en dimension d+1 ad hoc est choisie pour refléter les propriétés du modèle critique en dimension d. Pour QCD, cette modélisation permet de calculer les propriétés thermodynamiques, les coefficients de transport et les propriétés hors équilibre, en complément des approches sur réseau (cf. Chapitre I.1). Ces méthodes sont aussi utiles pour révéler de nouvelles classes d'universalité de points critiques pour les systèmes de matière condensée fortement couplés (cf. Chapitre III). Cette correspondance suggère aussi des propriétés remarquables de certaines théories de jauge conformes dans la limite planaire, i.e. à nombre de couleurs infini : les amplitudes de diffusion sont alors invariantes sous une symétrie de Yangian, combinaison de la symétrie conforme ordinaire avec la symétrie duale conforme venant de la dualité entre amplitudes de diffusion et boucles de Wilson de genre lumière. Les techniques de l'intégrabilité permettent ici le calcul exact des dimensions des opérateurs primaires à tout couplage. En parallèle, des progrès importants ont eu lieu sur les techniques d'unitarité généralisée et sur la structure analytique et transcendantale des amplitudes de diffusion.

Finalement, l'étude non-perturbative des théories des champs super-symétriques continue de bénéficier des progrès en théorie des cordes et des techniques dans le calcul de l'intégrale fonctionnelle par localisation. Ces résultats indiquent des relations profondes entre théories de jauge super-symétriques, théories conformes et modèles intégrables.

B. Gravité quantique

Par « gravité quantique » on fait référence aux approches où l'invariance sous les difféomorphismes, et donc l'absence d'un champ de fond prédéfini, est centrale. Plusieurs approches sont explorées, principalement dans le cadre de la gravité quantique à boucles et des mousses de spins, mais également des modèles de tenseurs aléatoires, des triangulations dynamiques causales ou de la gravité asymptotiquement saine, avec des progrès importants ces dernières années. En gravité quantique à boucles, l'interprétation des états a été approfondie par la notion de géométries twistées et de polyèdres flous, donnant une connexion avec la théorie des twisteurs. La dynamique est étudiée par le modèle de mousse de spins EPRL, dont le régime WKB reproduit une discrétisation de la relativité générale. Une première classe de corrections radiatives a été évaluée et des divergences (infra-rouges dans le cadre géométrique) sont analysées à l'aide de modèles de tenseurs aléatoires ou des groupes quantiques. Cependant, certains aspects dynamiques, comme la resommation des différents diagrammes, restent ouverts.

L'exploration d'une phénoménologie cosmologique, le big bang étant remplacé par un « rebond » quantique, est un sujet actif. Plusieurs applications à la physique des trous noirs sont également développées : ainsi l'entropie de Bekenstein-Hawking est donnée par le comptage des états quantiques ayant une même géométrie macroscopique. Une approximation de « géométrie près de l'horizon » a été donnée, incluant des propriétés dynamiques et une définition de quantités thermodynamiques quasi locales, éliminant la dépendance cinématique de l'entropie dans le paramètre d'Immirzi, et donnant la positivité de la chaleur spécifique d'un trou noir de Schwarzschild pour des observateurs quasi-locaux. Des modèles de « trou noir régulier » sont aussi explorés, ce qui permet de traiter la rétro-réaction due au rayonnement de Hawking, et d'examiner différents scénarios de solution du paradoxe de perte d'information et les conséquences possibles pour la phénoménologie. La radiation de Hawking est aussi étudiée avec des modèles analogues de gravité, tels que les trous noirs sonores ou les condensats de Bose-Einstein.

La gravité quantique vue comme somme sur les géométries peut être approchée par les modèles de tenseurs aléatoires, qui veulent étendre en dimensions supérieures la notion de matrices aléatoire, avec le succès récent d'un développement en 1/N. Sa classe d'universalité et les limites d'échelle ont été étudiées, et les propriétés de renormalisation et du point fixe sont en cours d'analyse. Il existe aussi une approche numérique, dite triangulation dynamique causale, pour laquelle l'existence d'un point critique avec transition de phase du deuxième ordre a été mise en évidence, mais les détails de la dynamique et l'invariance de Lorentz locale sont à clarifier. Plusieurs résultats importants ont été obtenus dans le cadre de l'hypothèse de sûreté asymptotique de Weinberg, appliquée à la gravité quantique via le groupe de renormalisation fonctionnel : le flux de l'opérateur de Weyl au carré possède un point fixe non-gaussien, et le point fixe ainsi que la dimension de la surface critique sont stables même avec l'inclusion d'un nombre infini d'opérateurs scalaires.

C. Théories quantiques des champs et théories conformes

Malgré leurs trente ans d'existence, les théories conformes des champs (CFT) sont un sujet très actif et fécond qui a récemment permis la découverte de nouvelles structures fondamentales et de nouvelles applications en information quantique, en matière condensée et en physique statistique. Les interfaces avec la physique des hautes énergies ainsi qu'avec les mathématiques (probabilités, théorie des représentations), sont également vivaces.

Certains modèles sigma décrivant les effets Hall quantiques, les isolants topologiques et la correspondance AdS/CFT ont un espace cible non compact. Une approche fructueuse passe par leur discrétisation, via des chaînes de spins aux degrés de liberté locaux de dimension finie, permettant de mieux cerner l'émergence et les propriétés de la non-compacité dans la limite continue. Le cas non unitaire décrivant les modèles désordonnés et certaines géométries critiques (percolation, polymères) ont un opérateur de dilatation non diagonalisable. L'action de l'algèbre de Virasoro est alors non semi-simple et les fonctions de corrélation contiennent des facteurs logarithmiques. La mise sur réseau est ici encore utile, l'indécomposabilité de la limite continue étant souvent préfigurée par celle des algèbres cellulaires (Temperley-Lieb) du modèle discret. La classification des CFT logarithmiques avec bord est en bonne voie tandis que le cas périodique, algébriquement très complexe, reste ouvert.

Les courbes critiques invariantes conformes apparaissent dans les parois de domaine, les polymères, la turbulence et le chaos quantique. Leur description a amené de riches interactions avec la méthode probabiliste SLE, rendant rigoureux nombre de résultats CFT ainsi qu'une interprétation géométrique du tenseur énergie impulsion et de certaines fonctions de corrélations. Le comportement près du point critique a également été compris.

Le lien entre les CFT en dimension 2 et les théories de jauge super-symétriques en dimension 4 conduit à des bases des représentations de l'algèbre de symétrie conforme d'origine géométrique, leurs vecteurs étant énumérés par les points fixes d'un tore qui agit sur l'espace des modules des instantons. Cela a permis de démontrer la fameuse conjecture AGT et d'en proposer des généralisations.

Les déformations isomonodromiques des équations différentielles ordinaires linéaires font aussi appel aux CFT en lien avec les blocs conformes de la théorie de Liouville c=1. La correspondance AGT mène alors aux solutions de Painlevé VI, V et III via des séries combinatoires.

Pour les CFT rationnelles les opérateurs primaires sont en bijection avec les conditions aux bords invariantes conformes. Le cas irrationnel mène à des familles continues de conditions aux bords. Ce sujet est lié aux conditions aux bords non diagonales intégrables et pointe vers des extensions de SLE. L'étude des anomalies aux coins et près des singularités coniques donne des applications pour les trempes quantiques et l'entropie d'intrication.

Les contraintes d'associativité issues de l'invariance conforme permettent aussi en d > 2 la caractérisation du comportement des corrélateurs. Cette approche fonctionnelle, alternative au groupe de renormalisation, permet d'envisager une étude analytique en dimension supérieure. Par ailleurs, la combinaison des théories conformes avec l'intégrabilité et l'intrication quantique a mené à des applications hors équilibre et aux modèles d'impuretés quantiques.

D. Systèmes intégrables

Les systèmes intégrables sont omniprésents en physique théorique, apparaissant aussi bien dans le domaine des hautes énergies (théories de jauge, théories des cordes, correspondance AdS/CFT) qu'en matière condensée (systèmes magnétiques, gaz quantiques, atomes froids), y compris hors équilibre, dans des situations où la conjonction d'interactions fortes et la présence de statistiques quantiques nécessitent des méthodes exactes et non-perturbatives. Les progrès obtenus ces dernières années concernent le développement de méthodes nouvelles ainsi que leurs applications.

Le calcul exact des facteurs de forme et des fonctions de corrélation des opérateurs locaux de ces modèles occupe une place centrale. Ils donnent accès à des quantités dynamiques observables expérimentalement (facteurs de structure dynamiques par exemple) et aussi à la détermination des perturbations autour de ces systèmes intégrables, permettant ainsi de modéliser des systèmes physiques non intégrables d'intérêt. Le calcul exact du comportement asymptotique de ces corrélations dans le cadre de l'ansatz de Bethe algébrique a permis de confirmer et d'aller au-delà (amplitudes) des prédictions issues des CFT et du liquide de Luttinger, y compris pour les systèmes à température finie.

Pour résoudre des modèles sortant du cadre de l'ansatz de Bethe algébrique il s'avère nécessaire de développer de nouvelles méthodes ; ainsi les approches dites « hypergéométriques » par analogie avec l'approche en théorie conforme demeurent un enjeu de premier plan. Ces dernières années, plusieurs progrès importants ont été réalisés dans ces directions. Pour les modèles intégrables avec conditions aux bords non-périodiques, plusieurs approches alternatives se développent aussi, comme les algèbres d'Onsager et la méthode de séparation des variables quantique. D'autre part, on observe un intérêt croissant pour les approches articulées sur la théorie des représentations de diverses algèbres et la bispectralité. L'étude de solutions algébriques aux équations q-KZ en lien avec la théorie des fonctions spéciales se poursuit. Par ailleurs, les représentations fermioniques de la chaîne de spin de Heisenberg ont offert une confirmation de la fonction à un point dans le modèle sine-Gordon. Enfin, la séparation des variables – également étudiée dans le cas de l'intégrabilité classique – a aussi des applications aux systèmes dynamiques et à l'optique quantique.

Rappelons aussi le lien fructueux entre systèmes intégrables et théorie des représentations à l'interface entre physique et mathématique. Il faut citer ici les bi-algèbres, les algèbres de Hopf, les coidéaux, les algèbres d'amas, les applications de Yang-Baxter, les algèbres cellulaires. D'autre part des aspects combinatoires en rapport avec les conjectures de Razumov-Stroganov et leur résolution ont tissé des liens vers la géométrie algébrique. Finalement, l'étude de plusieurs structures algébriques concernant les modèles intégrables discrets ou les modèles d'automates cellulaires se développe en lien avec les groupes quantiques.

E. Géométrie et processus aléatoires

Les phénomènes aléatoires occupent une place importante dans la physique moderne, leur étude conduisant à des interactions fructueuses avec les mathématiques.

La théorie des matrices aléatoires, issue de la physique nucléaire, a été appliquée dans des domaines très divers allant de la physique statistique à la gravité quantique. Les distributions de Tracy-Widom (TW), décrivant les fluctuations de la plus grande valeur propre de certaines matrices aléatoires, apparaissent ainsi dans les marches browniennes non-intersectantes ou dans les modèles de croissance en 1D dans la classe d'universalité Kardar-Parisi-Zhang (KPZ). Cette universalité se manifeste aussi pour les fluctuations de la conductance en physique mésoscopique et dans l'intrication de systèmes bipartites. Le développement en 1/N, dit aussi topologique, est une propriété importante de l'énergie libre des modèles de matrices ; la méthode récemment développée de récurrence topologique en détermine les termes, et tisse des liens avec les mathématiques (géométrie symplectique, symétrie miroir), mais aussi les CFT (calcul des fonctions de corrélation dans des théories à c=1) ou les systèmes intégrables classiques. Ce développement topologique décrit la géométrie et la combinatoire des triangulations aléatoires des surfaces de Riemann.

D'autres approches étudient la géométrie quantique des surfaces bidimensionnelles, soit dans le discret, soit directement dans le continu. Les bijections entre certaines familles d'arbres et des cartes planaires conduisent à des résultats comme la distribution de la distance géodésique entre deux ou plusieurs points ou un contrôle fin et rigoureux sur la limite continue non accessibles par des méthodes de matrices aléatoires. Dans le continu, des méthodes issues du calcul stochastique ont permis de définir de façon rigoureuse la géométrie de la gravité quantique dite de Liouville, donnant une preuve des relations Knizhnik-Polyakov-Zamolodchikov (KPZ) qui relient les exposants critiques euclidiens et ceux en gravité de Liouville.

Enfin, concernant le domaine de la géométrie non-commutative il faut citer le problème de la détermination de distances spectrales pour certains analogues non-commutatifs d'une variété spin non-compacte, ou encore les propriétés de renormalisation de théories de champs scalaires ou de jauges non-commutatives.